Análisis del principio de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización

1 Introducción

Una de las principales razones de la baja eficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en los bucles for, valores booleanos, contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en árboles de Merkle, al usar la codificación de Reed-Solomon para expandir los datos, muchos valores redundantes adicionales ocuparán todo el campo, incluso si el valor original en sí es muy pequeño. Para abordar este problema, reducir el tamaño del campo se ha convertido en una estrategia clave.

La anchura de codificación de la primera generación de STARKs es de 252 bits, la de la segunda generación de STARKs es de 64 bits, y la de la tercera generación de STARKs es de 32 bits, pero la anchura de codificación de 32 bits aún presenta una gran cantidad de espacio desperdiciado. En comparación, el campo binario permite operar directamente sobre los bits, con una codificación compacta y eficiente sin ningún espacio desperdiciado, es decir, la cuarta generación de STARKs.

A diferencia de los descubrimientos recientes en campos finitos como Goldilocks, BabyBear y Mersenne31, la investigación sobre campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se han aplicado ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:

• Estándar de cifrado avanzado ( AES ), basado en el campo F28;

• Código de autenticación de mensaje Galois ( GMAC ), basado en el campo F2128;

• Código QR, utiliza codificación Reed-Solomon basada en F28;

• Protocolo FRI original y zk-STARK, así como la función hash Grøstl que llegó a la final de SHA-3, la cual se basa en el campo F28, es un algoritmo hash muy adecuado para la recursión.

Cuando se utilizan dominios más pequeños, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El dominio binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para garantizar su seguridad y utilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que solo operan en el dominio base, logrando así una alta eficiencia en dominios pequeños. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y el cálculo de FRI aún requieren profundizar en un dominio de extensión más grande para garantizar la seguridad necesaria.

Al construir un sistema de prueba basado en el dominio binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación de la traza en STARKs, el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, se debe realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.

Binius propuso una solución innovadora que aborda estos dos problemas de manera separada y representa los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando polinomios multivariables ( en lugar de polinomios univariables, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos" ); en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar la expansión estándar de Reed-Solomon como en los STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado (, realizando la expansión de Reed-Solomon basada en este cuadrado. Este método, al garantizar la seguridad, mejora significativamente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional.

2 Análisis de principios

La construcción de la mayoría de los sistemas SNARKs actuales generalmente incluye las siguientes dos partes:

• Prueba de Oráculo Interactivo Polinómico Teórica de la Información ) Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP(: PIOP, como el núcleo del sistema de prueba, transforma las relaciones computacionales de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Diferentes protocolos de PIOP permiten al probador enviar polinomios de manera gradual a través de la interacción con el verificador, de modo que el verificador puede validar si el cálculo es correcto consultando los resultados de la evaluación de unos pocos polinomios. Los protocolos de PIOP existentes incluyen: PLONK PIOP, Spartan PIOP y HyperPlonk PIOP, cada uno de los cuales tiene diferentes enfoques para el tratamiento de expresiones polinómicas, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.

• Esquema de Compromiso Polinómico ) Polynomial Commitment Scheme, PCS (: El esquema de compromiso polinómico se utiliza para demostrar si se cumple la igualdad polinómica generada por PIOP. El PCS es una herramienta criptográfica, a través de la cual el probador puede comprometerse a un polinomio y luego verificar el resultado de la evaluación de ese polinomio, al mismo tiempo que oculta otra información del polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico más comunes son KZG, Bulletproofs, FRI ) Fast Reed-Solomon IOPP ( y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, niveles de seguridad y escenarios de aplicación.

Según las necesidades específicas, elige diferentes PIOP y PCS, y combina con un campo finito o una curva elíptica adecuada, se puede construir un sistema de pruebas con diferentes atributos. Por ejemplo:

• Halo2: combina PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, y se basa en la curva Pasta. Halo2 se diseñó con un enfoque en la escalabilidad y en eliminar la configuración de confianza en el protocolo ZCash.

• Plonky2: combina PLONK PIOP y FRI PCS, y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr una recursividad eficiente. Al diseñar estos sistemas, la PIOP y PCS seleccionadas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada, para garantizar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de la prueba SNARK y la eficiencia de verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin la necesidad de una configuración confiable, y si puede soportar funciones ampliadas como pruebas recursivas o pruebas agregadas.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + campos binarios. En concreto, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de campos binarios )towers of binary fields( constituye la base de su cálculo, permitiendo realizar operaciones simplificadas dentro del campo binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba de Oracle interactivo )PIOP(, asegurando una verificación de consistencia segura y eficiente entre las variables y sus permutaciones. En tercer lugar, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia de la verificación de relaciones multilineales en campos pequeños. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda Lasso, proporcionando flexibilidad y una fuerte seguridad para el mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo emplea un esquema de compromiso polinómico de campo pequeño )Small-Field PCS(, lo que le permite implementar un sistema de prueba eficiente en el campo binario y reducir la sobrecarga normalmente asociada con campos grandes.

) 2.1 Campo finito: aritmética basada en torres de campos binarios

Los campos binarios en torre son clave para implementar cálculos verificables rápidos, principalmente debido a dos aspectos: cálculos eficientes y aritmética eficiente. Los campos binarios, en esencia, admiten operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que los convierte en una opción ideal para aplicaciones criptográficas sensibles al rendimiento. Además, la estructura del campo binario soporta un proceso de aritmética simplificado, es decir, las operaciones realizadas en el campo binario pueden representarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar completamente su naturaleza jerárquica a través de la estructura de torre, hacen que los campos binarios sean particularmente adecuados para sistemas de prueba escalables como Binius.

El término "canonical" se refiere a la representación única y directa de un elemento en el campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de k bits se puede mapear directamente a un elemento del campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, los cuales no pueden proporcionar esta representación canónica dentro de un número fijo de bits. Aunque un campo primo de 32 bits puede caber dentro de 32 bits, no todas las cadenas de 32 bits pueden corresponder de manera única a un elemento del campo, mientras que el campo binario tiene esta conveniencia de un mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery, así como métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción especial ( como se usa en AES ), la reducción de Montgomery ### como se usa en POLYVAL ( y la reducción recursiva ) como Tower (. El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que en el campo binario, no se requiere llevar en las operaciones de suma y multiplicación, y la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada )X + Y (2 = X2 + Y2.

Como se muestra en la figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena puede interpretarse de varias maneras en el contexto del campo binario. Puede considerarse como un elemento único en el campo binario de 128 bits, o puede descomponerse en dos elementos del campo de torre de 64 bits, cuatro elementos del campo de torre de 32 bits, 16 elementos del campo de torre de 8 bits, o 128 elementos del campo F2. Esta flexibilidad de representación no requiere ningún costo de cálculo, solo un typecast de la cadena de bits )typecast(, lo cual es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos del campo pequeño pueden empaquetarse en elementos de campo más grandes sin necesidad de costos adicionales de cálculo. El protocolo Binius se aprovecha de esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el artículo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de realizar multiplicaciones, cuadrados y operaciones de inversión en el campo binario de torre de n bits que se puede descomponer en un subcampo de m bits ).

( 2.2 PIOP: versión adaptada del producto HyperPlonk y PermutationCheck------aplicable al campo binario

El diseño de PIOP en el protocolo Binius se basa en HyperPlonk, utilizando una serie de mecanismos de verificación fundamentales para validar la corrección de polinomios y conjuntos multivariables. Estas verificaciones fundamentales incluyen:

1. GateCheck: verifica si el testimonio secreto ω y la entrada pública x satisfacen la relación de operación del circuito C)x,ω(=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.

2. PermutationCheck: Verificar si los resultados de evaluación de dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f)x### = f(π)x(), para asegurar la consistencia de las permutaciones entre las variables del polinomio.

3. LookupCheck: Verificar si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ( ⊆ T)Bµ), asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.

4. MultisetCheck: Verifica si dos colecciones multivariables son iguales, es decir, {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, garantizando la consistencia entre múltiples colecciones.

5. ProductCheck: Verificar si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f(x) = s, para asegurar la corrección del producto polinómico.

6. ZeroCheck: Verificar si un polinomio multivariable en el hipercubo booleano en cualquier punto es cero ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, para garantizar la distribución de los ceros del polinomio.

7. SumCheck: Verifica si la suma de un polinomio multivariable es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f(x) = s. Reduce la complejidad computacional del verificador al transformar el problema de evaluación del polinomio multivariable en una evaluación de polinomio unidimensional. Además, SumCheck también permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales que permiten el procesamiento por lotes de múltiples instancias de verificación de sumas.

8. BatchCheck: Basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.

A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha realizado mejoras en los siguientes 3 aspectos:

• Optimización de ProductCheck: en HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea no cero en todo el hipercubo, y el producto debe ser igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar ese valor a 1, reduciendo así la complejidad computacional.

• Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no pudo manejar adecuadamente la situación de división por cero, lo que impidió afirmar el problema de no cero de U en el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede continuar procesando, permitiendo la promoción a cualquier valor de producto.

• Comprobación de Permutación de columnas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutación entre múltiples columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones de disposición polinómica más complejas.

Por lo tanto, Binius ha mejorado la flexibilidad y eficiencia del protocolo mediante la mejora del mecanismo PIOPSumCheck existente, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos, proporcionando un soporte funcional más robusto. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones en HyperPlonk, sino que también establecen una base para futuros sistemas de prueba basados en campos binarios.

( 2.3 PIOP: nuevo argumento de desplazamiento multilineal ------ aplicable al hipercubo booleano

En el protocolo Binius, la construcción y el manejo de polinomios virtuales es una de las tecnologías clave, que puede generar y operar eficazmente polinomios derivados de manejadores de entrada u otros polinomios virtuales. A continuación se presentan dos métodos clave:

• Packing: Este método se realiza mediante la