Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm lĩnh toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa STARKs thế hệ thứ nhất là 252bit, độ rộng mã hóa STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn rất nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các nghiên cứu mới về miền hữu hạn trong những năm gần đây, nghiên cứu về miền nhị phân có thể được truy nguyên từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện nay, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao ( AES ), dựa trên miền F28;
Galois mã xác thực tin nhắn ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
Mã QR, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI và zk-STARK gốc, cũng như hàm băm Grøstl lọt vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho việc đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong các tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đưa ra một giải pháp đổi mới, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện cùng một dữ liệu bằng hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu thị toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do độ dài mỗi chiều của siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể xem siêu khối như một hình vuông ( square ), và dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán một cách đáng kể.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác nhiều biến lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi dần dần đa thức thông qua tương tác với người xác minh, khiến người xác minh có thể xác minh tính chính xác của tính toán thông qua việc truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái đều có cách xử lý khác nhau đối với các biểu thức đa thức, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Giải pháp cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Giải pháp cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, bên chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn thông tin khác của đa thức. Các giải pháp cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và bối cảnh áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip thích hợp, có thể xây dựng các hệ thống chứng minh có thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm là khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được khả năng đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu quả xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu suất và độ an toàn cao. Đầu tiên, cấu trúc số học dựa trên miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields) đã tạo thành nền tảng cho phép thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP) đã điều chỉnh các kiểm tra sản phẩm và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức đã giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã sử dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và độ an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 trường hữu hạn: toán tử hóa dựa trên towers of binary fields
Miền nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai yếu tố: tính toán hiệu quả và số học hiệu quả. Miền nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học cực kỳ hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc miền nhị phân hỗ trợ quá trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên miền nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cộng với khả năng tận dụng tối đa các đặc điểm phân cấp thông qua cấu trúc tháp, khiến miền nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong trường nhị phân. Ví dụ, trong trường nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử của trường nhị phân k bit. Điều này khác với trường số nguyên tố, nơi không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn như vậy trong một số lượng bit nhất định. Mặc dù trường số nguyên tố 32 bit có thể được chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử của trường, trong khi trường nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một. Trong trường số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm thông dụng bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, cũng như các phương pháp giảm đặc biệt cho các trường hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong trường nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường được sử dụng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Triển Khai Trường Số Nguyên Tố So Với Trường Nhị Phân" chỉ ra rằng trường nhị phân không cần phải đưa vào sự chuyển giao trong cả phép cộng và phép nhân, và việc bình phương trong trường nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được diễn giải theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Sự linh hoạt trong cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là việc chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" khám phá độ phức tạp tính toán của việc nhân, bình phương và lấy nghịch đảo trong miền tháp nhị phân n bit ( có thể phân tách thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên của sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------Áp dụng cho trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi nhằm xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp nhiều biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: xác minh chứng thực bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ tính toán của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động đúng.
PermutationCheck: Xác thực kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên siêu khối Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác thực giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra giá trị của đa thức hợp lý trên siêu khối Boolean có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, nhằm đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên khối siêu hình học có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố của các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều ví dụ kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh độ chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức đa biến, nhằm nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã có những cải tiến trong 3 lĩnh vực sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U phải khác không ở mọi điểm trên siêu lập phương và tích phải bằng một giá trị xác định; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách chuyên biệt hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đúng tình huống chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định U có khác không trên khối siêu; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch nhiều tuyến tính mới------áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp quan trọng:
Packing: Phương pháp này thông qua việc
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
6 thích
Phần thưởng
6
3
Đăng lại
Chia sẻ
Bình luận
0/400
Web3Educator
· 23giờ trước
*điều chỉnh kính ảo* tối ưu hóa thật thú vị
Xem bản gốcTrả lời0
OnChain_Detective
· 08-16 20:54
khả năng mở rộng của stark đã chết thật sự... sự thống trị của trường nhị phân
Binius đổi mới: Miền nhị phân hỗ trợ tối ưu hóa STARKs, nén hiệu quả mạch toán học
Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm lĩnh toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa STARKs thế hệ thứ nhất là 252bit, độ rộng mã hóa STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn rất nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các nghiên cứu mới về miền hữu hạn trong những năm gần đây, nghiên cứu về miền nhị phân có thể được truy nguyên từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện nay, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao ( AES ), dựa trên miền F28;
Galois mã xác thực tin nhắn ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
Mã QR, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI và zk-STARK gốc, cũng như hàm băm Grøstl lọt vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho việc đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong các tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đưa ra một giải pháp đổi mới, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện cùng một dữ liệu bằng hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu thị toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do độ dài mỗi chiều của siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể xem siêu khối như một hình vuông ( square ), và dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán một cách đáng kể.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác nhiều biến lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi dần dần đa thức thông qua tương tác với người xác minh, khiến người xác minh có thể xác minh tính chính xác của tính toán thông qua việc truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái đều có cách xử lý khác nhau đối với các biểu thức đa thức, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Giải pháp cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Giải pháp cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, bên chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn thông tin khác của đa thức. Các giải pháp cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và bối cảnh áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip thích hợp, có thể xây dựng các hệ thống chứng minh có thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm là khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được khả năng đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu quả xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu suất và độ an toàn cao. Đầu tiên, cấu trúc số học dựa trên miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields) đã tạo thành nền tảng cho phép thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP) đã điều chỉnh các kiểm tra sản phẩm và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức đã giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã sử dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và độ an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 trường hữu hạn: toán tử hóa dựa trên towers of binary fields
Miền nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai yếu tố: tính toán hiệu quả và số học hiệu quả. Miền nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học cực kỳ hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc miền nhị phân hỗ trợ quá trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên miền nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cộng với khả năng tận dụng tối đa các đặc điểm phân cấp thông qua cấu trúc tháp, khiến miền nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong trường nhị phân. Ví dụ, trong trường nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử của trường nhị phân k bit. Điều này khác với trường số nguyên tố, nơi không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn như vậy trong một số lượng bit nhất định. Mặc dù trường số nguyên tố 32 bit có thể được chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử của trường, trong khi trường nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một. Trong trường số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm thông dụng bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, cũng như các phương pháp giảm đặc biệt cho các trường hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong trường nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường được sử dụng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Triển Khai Trường Số Nguyên Tố So Với Trường Nhị Phân" chỉ ra rằng trường nhị phân không cần phải đưa vào sự chuyển giao trong cả phép cộng và phép nhân, và việc bình phương trong trường nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được diễn giải theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Sự linh hoạt trong cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là việc chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" khám phá độ phức tạp tính toán của việc nhân, bình phương và lấy nghịch đảo trong miền tháp nhị phân n bit ( có thể phân tách thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên của sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------Áp dụng cho trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi nhằm xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp nhiều biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: xác minh chứng thực bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ tính toán của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động đúng.
PermutationCheck: Xác thực kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên siêu khối Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác thực giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra giá trị của đa thức hợp lý trên siêu khối Boolean có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, nhằm đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên khối siêu hình học có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố của các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều ví dụ kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh độ chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức đa biến, nhằm nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã có những cải tiến trong 3 lĩnh vực sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U phải khác không ở mọi điểm trên siêu lập phương và tích phải bằng một giá trị xác định; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách chuyên biệt hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đúng tình huống chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định U có khác không trên khối siêu; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch nhiều tuyến tính mới------áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp quan trọng: