Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析

1 はじめに

STARKsの効率が低下する主な理由は、実際のプログラムにおけるほとんどの数値が小さいことです。例えば、forループのインデックス、真偽値、カウンターなどです。しかし、Merkleツリー証明の安全性を確保するために、Reed-Solomon符号化を使用してデータを拡張する際に、多くの追加の冗長値が全体の領域を占めることになります。たとえ元の値自体が非常に小さい場合でもです。この問題を解決するために、領域のサイズを小さくすることが重要な戦略となります。

第1世代STARKsのエンコーディングビット幅は252ビット、第2世代STARKsのエンコーディングビット幅は64ビット、第3世代STARKsのエンコーディングビット幅は32ビットですが、32ビットのエンコーディングビット幅には依然として大量の無駄なスペースが存在します。それに対して、バイナリフィールドはビットに直接操作を行うことを許可し、エンコーディングはコンパクトで効率的であり、無駄なスペースがありません。つまり、第4世代STARKsです。

Goldilocks、BabyBear、Mersenne31などの近年の新しい研究で発見された有限体と比較して、二進数体の研究は1980年代に遡ることができます。現在、二進数体は暗号学に広く応用されており、典型的な例には次のものが含まれます:

• F28ドメインに基づくAdvanced Encryption Standard (AES)。

• Galoisメッセージ認証コード(GMAC)、F2128フィールドに基づく;

• QRコード、F28ベースのリード・ソロモン符号を使用；

• 元のFRIおよびzk-STARKプロトコル、そしてSHA-3決勝に進出したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰に非常に適したハッシュアルゴリズムです。

小さい体を使用する場合、拡張体操作は安全性を確保するためにますます重要になります。そして、Biniusが使用する二進法体は、その安全性と実用性を保証するために完全に拡張体に依存する必要があります。ほとんどのProver計算に関与する多項式は、拡張体に入る必要はなく、基体の下で操作するだけで、小さな体で高効率を実現しています。しかし、ランダムポイント検査とFRI計算は、必要な安全性を確保するために、より大きな拡張体に深く入る必要があります。

バイナリーフィールドに基づいて証明システムを構築する際に、2つの実際的な問題があります。STARKsにおけるトレース表現の計算時に使用するフィールドのサイズは、多項式の次数より大きくなければなりません。また、STARKsにおけるマークルツリーのコミットメント時には、リード・ソロモン符号化を行う必要があり、使用するフィールドのサイズは符号化された拡張サイズより大きくする必要があります。

Biniusは、これら二つの問題をそれぞれ処理する革新的なソリューションを提案し、同じデータを二つの異なる方法で表現することを実現しました。まず、単変数多項式の代わりに多変数(具体的には多項式)を使用し、それを「超立方体」(hypercubes)上での値を通じて全体の計算軌跡を表現します。次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKsのように標準的なReed-Solomon拡張を行うことはできませんが、超立方体を正方形(square)と見なして、その正方形に基づいてReed-Solomon拡張を行うことができます。この方法は、安全性を確保しつつ、エンコーディング効率と計算性能を大幅に向上させます。

2 原理分析

現在ほとんどのSNARKsシステムの構築は通常以下の2つの部分を含みます:

• 情報理論的多項式インタラクティブオラクル証明(Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP):PIOPは証明システムの中心として、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者とのインタラクションを通じて、証明者が多項式を段階的に送信できるようにし、検証者は少数の多項式の評価結果を照会することで計算が正しいかどうかを検証できます。既存のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれが多項式表現の処理方法に違いがあるため、全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。

• 多項式コミットメントスキーム(Polynomial Commitment Scheme, PCS):多項式コミットメントスキームは、PIOPが生成した多項式等式が成立しているかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的ツールであり、これを通じて、証明者はある多項式にコミットし、後でその多項式の評価結果を検証することができ、同時に多項式の他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI(Fast Reed-Solomon IOPP)およびBrakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、適用シーンを持っています。

具体的な要件に基づいて、異なるPIOPとPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線を組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば:

• Halo2: PLONK PIOP と Bulletproofs PCS の組み合わせで、Pasta 曲線に基づいています。Halo2 は、スケーラビリティに重点を置き、ZCash プロトコルの trusted setup を排除するように設計されています。

• Plonky2: PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocks域に基づいています。Plonky2は高効率な再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択されたPIOPとPCSは、使用される有限体または楕円曲線と一致する必要があり、システムの正確性、性能、および安全性を確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズと検証効率に影響を与えるだけでなく、システムが信頼できる設定なしで透明性を実現できるかどうか、再帰証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかを決定します。

Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。 具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。 まず、バイナリfields(のタワーバイナリドメイン)towersに基づく演算がその計算の基礎を形成し、バイナリドメインでの簡略化された操作を実現できます。 次に、Biniusは、インタラクティブなOracleプルーフプロトコル(PIOP)で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保します。 第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニア シフト引数が導入されています。 第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップ メカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。 最後に、このプロトコルは、スモールフィールド多項式コミットメントスキーム(スモールフィールドPCS)を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、通常、大規模ドメインに関連するオーバーヘッドを削減することができます。

2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術

タワー型二項体は、高速検証可能計算を実現するための鍵であり、主に二つの側面に起因しています: 効率的な計算と効率的な算術化です。二項体は本質的に非常に効率的な算術演算をサポートしており、パフォーマンス要求の高い暗号アプリケーションに理想的な選択肢となっています。さらに、二項体構造は簡略化された算術化プロセスをサポートしており、つまり二項体上で実行される演算は、コンパクトで検証が容易な代数形式で表現できます。これらの特性に加えて、タワー構造を通じてその階層的な特性を十分に活用できることが、二項体をBiniusのようなスケーラブルな証明システムに特に適したものにしています。

ここで「canonical」は、バイナリーフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。たとえば、最も基本的なバイナリーフィールドF2では、任意のkビットの文字列は直接kビットのバイナリーフィールド要素にマッピングできます。これは素数フィールドとは異なり、素数フィールドは指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供できません。32ビットの素数フィールドは32ビットに収めることができますが、すべての32ビットの文字列が一意にフィールド要素に対応するわけではなく、バイナリーフィールドはこの一対一のマッピングの利便性を備えています。素数フィールドFpにおいて、一般的な還元方法にはBarrett還元、Montgomery還元、およびMersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特殊な還元方法が含まれます。バイナリーフィールドF2kにおいて、一般的に使用される還元方法には、AESで使用される特殊還元(、POLYVALで使用されるMontgomery還元)、そしてTower(のような再帰的還元)が含まれます。論文「Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations」では、バイナリーフィールドは加算および乗算の演算においてキャリーを導入する必要がなく、バイナリーフィールドの平方演算は非常に効率的であることが指摘されています。なぜなら、それは(X + Y )2 = X2 + Y 2の簡略化されたルールに従うからです。

図1に示すように、128ビットの文字列: この文字列は、バイナリフィールドのコンテキストでさまざまな方法で解釈できます。これは、128ビットのバイナリフィールド内のユニークな要素として見なすことができるほか、2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析することもできます。この表現の柔軟性は、計算オーバーヘッドを必要とせず、ビット文字列の型変換(typecast)を行うだけで、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さなフィールド要素は、追加の計算オーバーヘッドなしにより大きなフィールド要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルは、この特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、論文『On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two』では、nビットのタワー型バイナリフィールド内で( mビットサブフィールド)に分解して乗算、平方、および逆算の計算複雑性を探討しています。

! Bitlayer研究:Binius STARKsの原理分析と最適化思考

( 2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------

BiniusプロトコルにおけるPIOPの設計はHyperPlonkを参考にしており、多項式および多変数集合の正確性を検証するための一連のコアチェックメカニズムを採用しています。これらのコアチェックには:

1. GateCheck: 機密証人ωと公開入力xが回路計算関係C)x,ω###=0を満たしているかどうかを検証し、回路が正しく動作することを保証します。

2. PermutationCheck:ブールハイパーキューブ上の2つの多変量多項式fとgの評価結果が順列関係であることを確認しますf(x) = 多項式変数間の配置の一貫性を確保するためのf(π)x((。

3. LookupCheck: 多項式の評価が指定されたルックアップテーブルに存在するかどうかを検証します。つまり、f)Bµ) ⊆ T(Bµ)、特定の値が指定された範囲内にあることを確認します。

4. MultisetCheck: 2つの多変数集合が等しいかどうかをチェックします。すなわち、{(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H のように、複数の集合間の一貫性を保証します。

5. ProductCheck: 有理多項式がブール超立方体上での評価がある声明された値∏x∈Hµ f(x) = s に等しいかどうかを検査し、多項式の積の正しさを保証します。

6. ZeroCheck: ブール超立方体上の任意の点が多変数多項式のゼロであるかどうかを検証する∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, 多項式のゼロ点の分布を確保するため。

7. SumCheck: 多変数多項式の和が宣言された値∑x∈Hµ f(x) = sであるかどうかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することで、検証者の計算複雑度を低下させます。さらに、SumCheckはランダム数を導入することにより、線形結合を構築して複数の和チェックのインスタンスをバッチ処理することも可能にします。

8. BatchCheck:SumCheckに基づいて、複数の多変量多項式評価の正確性を検証し、プロトコールの効率を向上させます。

BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点がありますが、Biniusは以下の3つの点で改善を行いました:

• ProductCheck最適化: HyperPlonkでは、ProductCheckは分母Uが超立方体上で常に非ゼロであることを要求し、かつ積が特定の値に等しい必要があります; Biniusはこの値を1に特化することで、このチェックプロセスを簡素化し、計算の複雑さを低下させました。

• ゼロ除算の処理: HyperPlonkはゼロ除算のケースを適切に処理できず、超立方体上のUが非ゼロであるかを断言できませんでした; Biniusはこの問題を正しく処理し、分母がゼロであってもBiniusのProductCheckは処理を続行でき、任意の積値への一般化を許可します。

• 列間PermutationCheck:HyperPlonkにはこの機能がありません;Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の配置を処理することができます。

そのため、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムの改良を通じて、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変量多項式検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改良は、HyperPlonkの制限を解決するだけでなく、将来の二進数体に基づく証明システムの基盤を築くものです。

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( 2.3 PIOP:新しいマルチラインシフト引数------ブーリアンハイパーキューブに適用します

Biniusプロトコルでは、仮想多項式の構築と処理が重要な技術の一つであり、入力ハンドルや他の仮想多項式から派生した多項式を効果的に生成および操作することができます。以下は二つの重要な方法です:

*パッキング:方法はによって渡されます