Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析

1 はじめに

STARKsの効率が低下する主な理由の1つは、実際のプログラムでのほとんどの数値が小さいことですが、Merkleツリー証明のセキュリティを確保するために、Reed-Solomon符号化を使用してデータを拡張する際に、多くの追加の冗長値が全体の領域を占めてしまうため、元の値自体が非常に小さくてもそうなります。この問題を解決するために、領域のサイズを減少させることが重要な戦略となりました。

第1世代STARKsのエンコーディングビット幅は252bit、第2世代STARKsのエンコーディングビット幅は64bit、第3世代STARKsのエンコーディングビット幅は32bitですが、32bitエンコーディングビット幅には依然として大量の無駄なスペースがあります。相対的に、バイナリフィールドはビットに直接操作を許可し、エンコーディングはコンパクトで効率的であり、無駄なスペースはありません。つまり、第4世代STARKsです。

Goldilocks、BabyBear、Mersenne31など、近年の新しい研究で発見された有限体と比べて、二進法体の研究は1980年代まで遡ることができます。現在、二進法体は暗号学に広く応用されており、典型的な例としては、

• F28ドメインに基づくAdvanced Encryption Standard (AES)。

• Galoisメッセージ認証コード(GMAC)、F2128フィールドに基づく；

• QRコード、F28ベースのリード・ソロモン符号を使用；

• 原始FRIとzk-STARKプロトコル、そしてSHA-3ファイナルに進出したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰的なハッシュアルゴリズムに非常に適しています。

小さな体を使用する場合、拡張体の操作は安全性を確保するためにますます重要になります。そして、Biniusが使用する二進体は、その安全性と実際の有用性を保証するために完全に拡張体に依存する必要があります。ほとんどのProver計算に関連する多項式は拡張体に入る必要がなく、基本体の下で操作するだけで、高効率を小さな体で実現します。しかし、ランダムポイントの検査とFRI計算は、必要な安全性を確保するために、より大きな拡張体に深く入る必要があります。

二進数領域に基づいて証明システムを構築する際、2つの実際的な問題があります：STARKsにおいてtraceを表現する際に使用する領域のサイズは多項式の次数よりも大きくなければならない；STARKsにおいてMerkle treeをコミットする際にはReed-Solomon符号化を行う必要があり、使用する領域のサイズは符号化拡張後のサイズよりも大きくなければなりません。

Biniusは、これら2つの問題をそれぞれ処理する革新的なソリューションを提案し、同じデータを2つの異なる方法で表現することによって実現しました。まず、単変数多項式の代わりに多変数（具体的には多線形）多項式を使用し、その値を「超立方体」（hypercubes）上で表示することによって計算の全軌跡を示します。次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKsのように標準的なReed-Solomon拡張を行うことはできませんが、超立方体を正方形（square）として見なし、その正方形に基づいてReed-Solomon拡張を行うことができます。この方法は、安全性を確保しつつ、エンコーディング効率と計算性能を大幅に向上させました。

2 原理分析

現在ほとんどのSNARKsシステムの構築は通常以下の2つの部分を含みます：

• 情報理論的多項式インタラクティブオラクル証明（Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP）：PIOPは証明システムの核心として、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者とのインタラクションを通じて、証明者が段階的に多項式を送信できるようにし、検証者は少量の多項式の評価結果をクエリすることで計算が正しいかどうかを検証できます。現在のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれ多項式表現の処理方法が異なるため、全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。

• 多項式コミットメントスキーム（Polynomial Commitment Scheme, PCS）：多項式コミットメントスキームは、PIOPによって生成された多項式等式が成立するかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的ツールの一つで、証明者が特定の多項式をコミットし、その後にその多項式の評価結果を検証することができ、同時に多項式の他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI（Fast Reed-Solomon IOPP）、Brakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、および適用シナリオを持っています。

具体的な要件に応じて、異なるPIOPとPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線と組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば：

• Halo2：PLONK PIOPとBulletproofs PCSを組み合わせ、Pasta曲線に基づいています。Halo2の設計では、スケーラビリティに重点を置き、ZCashプロトコルのtrusted setupを排除しています。

• Plonky2：PLONK PIOP と FRI PCS を組み合わせ、Goldilocks 域に基づいています。Plonky2 は効率的な再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択する PIOP と PCS は、使用する有限体または楕円曲線と一致しなければならず、システムの正確性、パフォーマンス、安全性を確保する必要があります。これらの組み合わせの選択は、SNARK の証明サイズと検証効率に影響を与えるだけでなく、信頼できる設定なしで透明性を実現できるか、再帰証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかを決定します。

Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。 具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。 まず第一に、バイナリフィールドのタワーに基づく算術がその計算の基礎を形成し、バイナリフィールドでの単純化された演算を実現できます。 次に、Biniusは、インタラクティブなOracle Proof Protocol(PIOP)で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保しました。 第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニア シフト引数が導入されています。 第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップ メカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。 最後に、このプロトコルはスモールフィールド多項式コミットメントスキーム(スモールフィールドPCS)を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、大規模なドメインに通常関連するオーバーヘッドを削減できます。

2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術

タワーバイナリーフィールドは、高速で検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に二つの側面に起因しています：効率的な計算と効率的な算術化です。バイナリーフィールドは本質的に高度に効率的な算術操作をサポートし、パフォーマンスに敏感な暗号アプリケーションに理想的な選択肢となっています。さらに、バイナリーフィールド構造は簡略化された算術化プロセスをサポートしており、つまりバイナリーフィールド上で実行される演算はコンパクトで検証しやすい代数形式で表現できます。これらの特性に加え、タワー構造を通じてその階層的な特性を十分に活用できることが、バイナリーフィールドをBiniusのようなスケーラブルな証明システムに特に適したものにしています。

"canonical"は、バイナリーフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。たとえば、最も基本的なバイナリーフィールドF2では、任意のkビットの文字列は直接kビットのバイナリーフィールド要素にマッピングできます。これは素数体とは異なり、素数体は指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供することができません。32ビットの素数体は32ビット内に含むことができますが、すべての32ビットの文字列が一意にフィールド要素に対応できるわけではなく、バイナリーフィールドはこの一対一のマッピングの利便性を持っています。素数体Fpでは、一般的な還元方法にはBarrett還元、Montgomery還元、またMersenne-31やGoldilocks-64など特定の有限体に対する特殊な還元方法が含まれます。バイナリーフィールドF2kでは、一般的な還元方法には特殊還元（AESで使用されるもの）、Montgomery還元（POLYVALで使用されるもの）、再帰還元（Towerなど）が含まれます。論文《Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations》では、バイナリーフィールドは加算と乗算の演算においてキャリーを導入する必要がなく、バイナリーフィールドの平方演算は非常に効率的であると指摘されています。なぜなら、(X + Y )2 = X2 + Y 2の簡素化されたルールに従うからです。

図1に示されているように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドの文脈でさまざまな方法で解釈できます。それは128ビットのバイナリフィールドの中の一意の要素として見ることができるか、2つの64ビットタワーフィールドの要素、4つの32ビットタワーフィールドの要素、16の8ビットタワーフィールドの要素、または128のF2フィールドの要素として解析されることがあります。この表現の柔軟性は、計算オーバーヘッドを必要とせず、単にビット文字列の型変換（typecast）であり、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さなフィールド要素は、追加の計算オーバーヘッドなしでより大きなフィールド要素にパッキングできます。Biniusプロトコルは、この特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、論文『On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two』では、nビットタワー型バイナリフィールド（mビットサブフィールドに分解可能）での乗算、平方、逆演算の計算の複雑さについて探討しています。

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2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------

BiniusプロトコルのPIOP設計はHyperPlonkを参考にしており、多項式と多変数集合の正確性を検証するための一連のコアチェックメカニズムを採用しています。これらのコアチェックには、以下が含まれます：

1. GateCheck：秘密証明ωと公開入力xが回路演算関係C(x,ω)=0を満たしているかどうかを検証し、回路が正しく機能することを保証します。

2. PermutationCheck:ブールハイパーキューブ上の2つの多変量多項式fとgの評価結果が順列関係であることを確認しますf(x) = 多項式変数間の配置の一貫性を確保するためのf(π(x))。

3. LookupCheck：多項式の評価が指定されたルックアップテーブルに存在するかどうかを確認します。つまり、f(Bµ) ⊆ T(Bµ)、特定の値が指定された範囲内にあることを保証します。

4. MultisetCheck：2つの多変数集合が等しいかどうかをチェックします。すなわち{(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H、複数の集合間の一貫性を保証します。

5. ProductCheck：有理多項式がブール超立方体上での評価がある声明された値∏x∈Hµ f(x) = sに等しいかどうかを検出し、多項式の積の正確性を確保します。

6. ZeroCheck：ブール超立方体上の任意の点がゼロであるかどうかを検証する多変数多項式∏x∈Hµ f(x) = 0,∀x ∈ Bµを使用して、多項式のゼロ点分布を確認します。

7. SumCheck：多変数多項式の和が宣言された値∑x∈Hµ f(x) = sであるかどうかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することにより、検証者の計算複雑性を低下させます。さらに、SumCheckはランダム数を導入することにより、複数の和の検証インスタンスをバッチ処理することを可能にします。

8. BatchCheck:SumCheckに基づいて、複数の多変量多項式評価の正確性を検証し、プロトコールの効率を向上させます。

BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点があるが、Biniusは以下の3つの点で改善を行った：

• ProductCheckの最適化：HyperPlonkにおいて、ProductCheckは分母Uが超立方体上で常に非ゼロであり、積が特定の値に等しいことを要求します；Biniusはこの値を1に特化することで、このチェックプロセスを簡素化し、計算の複雑さを低下させました。

• ゼロ除算の処理：HyperPlonkはゼロ除算の状況を十分に処理できず、超立方体上のUの非ゼロ問題を断言することができませんでした；Biniusはこの問題を正しく処理し、分母がゼロであってもBiniusのProductCheckは処理を続けることができ、任意の積の値に拡張を許可します。

• 列間のPermutationCheck：HyperPlonkにはこの機能がありません；Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の排列状況を処理することができます。

そのため、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムを改善することによって、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式の検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改善は、HyperPlonkの限界を解決するだけでなく、将来のバイナリーフィールドに基づく証明システムの基盤を築くものです。

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2.3 PIOP：新しいマルチラインシフト引数------ブーリアンハイパーキューブに適用されます

Biniusプロトコルでは、仮想多項式の構築と処理が重要な技術の1つであり、入力ハンドルまたは他の仮想多項式から派生した多項式を効果的に生成および操作することができます。以下は2つの重要な方法です：

• Packing：この方法は、辞書順で隣接する位置のより小さな要素を打つことによって